www.3112.net > 如图,圆o是三角形ABC的外接圆,点i是三角形ABC的内心,延长Ai交BC于点E交弧BC于点D,且D...

如图,圆o是三角形ABC的外接圆,点i是三角形ABC的内心,延长Ai交BC于点E交弧BC于点D,且D...

这个是内心的一个经典性质(俗称鸡爪定理),也可以用来判定内心.如图,连BI、CI.∠DBI=∠IBC+∠CBD=1/2∠ABC+∠CAI=1/2∠ABC+1/2∠BAC而由外角定理,有∠BID=∠BAI+∠ABI=1/2∠BAC+1/2∠ABC从而∠DBI=∠BID这说明三角形BDI是等腰三角形,DB=DI同理DC=DI故DI=DB=DC

连接EC;∠CIE=∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠ACB)/2∠BCE=∠BAE(共弧BE)∠ICE=∠BCE+∠ICB=(∠BAC+∠ACB)/2可知:CE=IE(等腰三角形)在三角形IFC中,EI=EC=EF;可知三角形FCI为直角三角形,得∠FCI=90°,IC⊥CF

证明:连接CI CE因为I是三角形ABC的内心所以AE平分角BAC CI平分角ACB所以角BAE=角CAE角ACI=角BCI因为角BAE=角BCE=弧BE/2因为角CIE=角ACI+角CAE因为角ECI=角BCI+角BCE所以角ECI=角CIE所以EI=EC因为EI=EF所以EF=EC所以角F=角ECF因为角F+角EIC+角ECI+角ECF=180度所以角FCI=角ECI+角ECF=90度所以IC垂直CF

证明:∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠DAC,∠ABI=∠IBC,∵⊙O是△ABC的外接圆,∠BAD=∠DAC,∴ BD = CD ,∴BD=CD,∵ CD = CD ,∴∠CAD=∠CBD,∵∠DBI=∠IBC+∠CBD,∠BID=∠ABI+∠BAI,∴∠DBI=∠BID,∴DB=DI,∴DB=DC=DI.

采纳鼓励下亲谢谢∵∠BAC与∠ABC的平分线相交与点I∴∠ABI=∠CBI∠BAI=∠CAI∵∠DBC=∠DAC∠DCB=∠BAI∴∠DBC=∠DCB∴DB=DC∵∠DBI=∠DBC+∠CBI∠DIB=∠BAI+∠ABI∴∠DIB=∠BAI+∠CBI∴∠DBI=∠DIB∴DB=DI∴BD=DC=DI

因为∠DBC=∠DAC=∠BAD,且∠ABI=∠CBI那么∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠BAD+∠ABI,又∠DIB=∠BAD+∠ABI因此∠DBI=∠DIB,故BD=ID

解:(1)∵∠BAD=∠ECD,∠ABD=∠CED,∴△ABD∽△CED,∴ CD:AD=CE:AB,∴CD=3.证明:(2)连接IB.∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,∴弧BE=弧CE,则BE=CE,∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE,∴IE=BE,即C、I两个点在以点E为圆心,EB为半径的圆上

因为 角BDI=角ABI+角BAI (外角)且 在弧CD上,角DBC=角DAC(圆周角)得 角DBI=角DBC+角IBC=角DAC+角IBC(等量代换)又 I为内心,得AI、BI为角平分线,即角BAD=角CAD,角IBC=角IBA所以 角DBI=角DIB所以 BD=ID(等角对等边)

延长BI交圆与M,则角ABM=角CBM因为弧BE=CE,所以角EAB=角EBC 所以角EIB=EAB+ABM 角MBE=MBC+CBE所以角EIB=角MBE所以IE=BE

∵∠ABC与∠BAC的平分线相交于点I,∴∠BAD=∠CAD,而C⌒D所对圆周角是∠CAD,∠CBD,∴∠CAD=∠CBD,同理,∠BAD=∠BCD,∴∠CBD=∠BCD,∴BD=CD,又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠CAD+∠ABC/2,∠BID=∠BAI+∠ABI=∠CAD+∠ABC/2,∴∠DBI=∠BID,∴BD=DC=DI

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